Аффинные преобразования пространства

Someone

Заметим, что для полного понимания сути дела требуются некоторые знания матричной алгебры и аналитической геометрии, но для тех, кто с этим ещё не знаком, мы выпишем формулы, которые можно использовать в программе. Простейшие матричные операции - умножение матрицы на число (состоит в умножении каждого элемента матрицы на это число) и сложение матриц одинакового размера (состоит в сложении соответствующих элементов матриц) - мы формулами описывать не будем.
Напомним формулу умножения матриц. Здесь она записана для матриц размера , но легко переносится на матрицы любого размера:

Необходима также формула для вычисления обратной матрицы:

В этой формуле - определитель заданной матрицы, - алгебраические дополнения, - миноры (получаются вычёркиванием из заданной матрицы -той строки и -того столбца). Определители второго и третьего порядка вычисляются по следующим формулам:

Наконец, пригодится и понятие транспонированной матрицы:

Мы будем далее предполагать, что в пространстве задана декартова система координат . В такой системе координат точки задаются тройками чисел , которые нам будет удобно записывать в виде столбцов вида .

Нас будут интересовать так называемые аффинные преобразования пространства. Это такие преобразования, при которых все прямые преобразуются снова в прямые. Оказывается, что все такие преобразования можно записать формулами вида

где - координаты исходной точки; те же буквы со звёздочкой наверху обозначают координаты точки, которая получается в результате преобразования. Для компактной записи этих формул весьма полезно использовать матричные обозначения. Именно, определим матрицу и три столбца следующим образом:

Тогда приведённое выше преобразование можно записать в форме простого матричного равенства . В дальнейшем мы все преобразования будем записывать в такой форме, указывая при необходимости вид матрицы .

Самым простым преобразованием такого вида является параллельный сдвиг на вектор , который определяется формулой . Матрица в этом случае совпадает с единичной матрицей .

Сдвиг на ненулевой вектор не имеет неподвижных точек.
В общем случае можно определить, имеет ли преобразование неподвижные точки, решая систему уравнений , где - единичная матрица. Заметим, что если матрица невырожденная, то есть, её определитель не равен , то эта система имеет единственное решение , так что преобразование имеет единственную неподвижную точку.

Если вектор нулевой, то преобразование имеет вид . Такое преобразование оставляет неподвижным начало координат .
Если мы уже нашли преобразование нужного вида (с матрицей ), оставляющее неподвижным начало координат, то очень легко найти преобразование такого же вида, оставляющее неподвижной заданную точку . Такое преобразование будет иметь вид . Поэтому в дальнейшем мы будем ограничиваться преобразованиями, оставляющими неподвижным именно начало кординат, то есть, преобразованиями вида .

Другой простейший тип преобразований - растяжения (сжатия) вдоль прямой. Растяжение вдоль оси в раз задаётся, соответственно, матрицей

(при получается сжатие). Растяжение одновременно по всем осям (вообще говоря, в разное число раз) задаётся матрицей

Если все диагональные элементы в этой матрице одинаковые, то получается равномерное растяжение (сжатие), то есть, преобразование подобия.
Более сложным является вопрос о том, как получить растяжения в заданное число раз вдоль трёх заданных прямых, не параллельных одной плоскости.
Для этого на каждой из прямых возьмём ненулевой вектор и составим из этих векторов матрицу . Тогда матрицу растяжения можно записать в виде

Симметрии относительно плоскостей , осей и точки (начала координат) задаются матрицами

Симметрии относительно произвольных плоскостей и прямых можно получить по той же формуле, что и растяжения, взяв в качестве нужную комбинацию чисел и . Однако если мы хотим, чтобы полученное преобразование было действительно симметрией нужного вида, векторы , для которых , должны быть перпендикулярны, то есть, их скалярное произведение должно быть равно : .
При отыскании нужных векторов полезно иметь в виду, что вектор с координатами перпендикулярен плоскости .
В частности, матрица симметрии относительно плоскости имеет вид

Более сложным классом преобразований являются движения, то есть, преобразования, сохраняющие расстояния между точками. Матрица , определяющая движение, является ортогональной, то есть, удовлетворяет условию . Это означает, что обратная матрица должна совпадать с транспонированной.
Все движения можно разбить на две группы: собственные движения, которые являются комбинациями вращений и сдвигов и характеризуются тем, что определитель матрицы равен , и несобственные движения, которые включают дополнительно симметрию относительно плоскости или точки и характеризуются тем, что определитель матрицы равен .
Заметим, что симметрию относительно прямой можно рассматривать как вращение вокруг этой прямой на угол , так что такие симметрии являются собственными движениями.

Собственные движения, имеющие неподвижную точку, называются вращениями. Как мы и договорились, будем предполагать, что эта неподвижная точка совпадает с началом координат .
Самый простой случай - поворот вокруг оси координат на заданный угол. Матрица поворота на угол вокруг оси соответственно имеет следующий вид:

(положительным направлением поворота считается направление от к , от к , от к ).
Получить матрицу произвольного поворота можно различными способами. Самый простой - перемножить приведённые выше матрицы в произвольном порядке, например, в том, в котором они перечислены (результат зависит от порядка матриц):

В математике, однако, для задания произвольного поворота пользуются углами Эйлера , которые определяются следующим образом: сначала выполняется поворот вокруг оси на угол , затем - вокруг оси на угол , потом - снова вокруг оси , но на угол . Вычисляя произведение матриц

получим матрицу

В заключение статьи приведём матрицу поворота на заданный угол вокруг прямой с направляющим вектором , проходящей через начало координат:

Положительным (если смотреть "навстречу" вектору ) здесь считается направление поворота, совпадающее с направлением поворота от оси к оси (если смотреть "навстречу" оси ).

Чтобы получить симметрию относительно плоскости, не проходящей через начало координат, или вращение вокруг прямой, не проходящей через начало координат, нужно взять какую-нибудь точку в этой плоскости или прямой, и воспользоваться рассмотренным выше методом, позволяющим сдвинуть неподвижную точку из начала координат в заданное место.

Если у Вас возникнут какие-либо вопросы, Если вопросов будет много, мы, возможно, сделаем на сайте раздел вопросов и ответов.