Проектирование пространства на плоскость

Someone

Мы предполагаем, что Вы уже прочли статью "Аффинные преобразования пространства", и будем использовать введённые там обозначения. Как и ранее, мы будем рассматривать преобразования пространства в себя, сохраняющие прямые. Как уже говорилось в упомянутой статье, все проеобразования такого вида можно записать в виде . Такое преобразование называется проектированием, или проекцией, если оно удовлетворяет условию .
Подставляя формулу преобразования в это условие, после упрощений получим равенство , из которого следуют условия

Сразу отметим два тривиальных случая.
В первом случае матрица является невырожденной. Тогда из этих условий следует, что , а вектор — нулевой.
Во втором случае, напротив, вектор может быть любым, а матрица — нулевая.

Ещё один не очень интересный для нас случай — когда всё пространство отображается на прямую. Тем не менее, выпишем формулы для проекции точки параллельно плоскости с нормальным вектором на прямую с направляющим вектором ), проходящую через точку . Решая систему уравнений

получим решение в виде

Естественно, для существования проектирования должно выполняться неравенство ; геометрически это означает, что прямая и плоскость не параллельны.

Основной интерес представляет проектирование пространства на плоскость. Чтобы найти проекцию точки параллельно прямой с направляющим вектором на плоскость , решаем систему уравнений

В результате получается (при том же условии )

Кроме проекций рассмотренных видов (параллельных), для передачи перспективы используются центральные проекции. В этом случае проектирование пространства на плоскость осуществляется не параллельными прямыми, а прямыми, проходящими через заданную точку , не лежащую в заданной плоскости (это означает, что ). Заметим, что точки, лежащие в плоскости (эта плоскость параллельна заданной плоскости и проходит через заданную точку), не имеют проекций, поэтому мы не можем надеяться, что центральная проекция будет задаваться такой же простой формулой, как и ранее рассмотренные преобразования пространства.

Чтобы найти проекцию точки , мы должны решить систему уравнений

Это решение имеет вид, совершенно не похожий на ранее рассмотренные преобразования:

Тем не менее, это преобразование (оно относится к числу проективных преобразований) также сохраняет прямые: если три точки в пространстве лежат на одной прямой, и ни одна из них не находится в исключительной плоскости , то и их проекции лежат на одной прямой.
Это преобразование является проективным аналогом проектирования параллельно заданной прямой. Проективным аналогом проектирования на прямую параллельно заданной плоскости является проектирование на прямую с направляющим вектором , проходящую через точку , с помощью плоскостей, проходящих через другую прямую, не лежащую в одной плоскости с первой прямой. Предполагая, что вторая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор , получим для определения координат проекции точки систему уравнений

Решение этой системы уравнений выглядит весьма громоздким. Поскольку оно кажется в данный момент не очень полезным, мы не будем его выписывать. Вы сможете найти его сами, пользуясь известными методами решения систем линейных уравнений.

Если у Вас возникнут какие-либо вопросы, Если вопросов будет много, мы, возможно, сделаем на сайте раздел вопросов и ответов.